¶ 连续映射
假设 (X,T),(Y,S)(X, \mathcal{T}), (Y, \mathcal{S})(X,T),(Y,S) 是两个拓扑空间, 映射 f:X→Yf:X\to Yf:X→Y 叫做在点 x∈Xx\in Xx∈X 附近连续, 如果对 f(x)f(x)f(x) 的任何一个邻域 V∈SV\in \mathcal{S}V∈S , 都存在 xxx 的一个邻域 U∈TU\in \mathcal{T}U∈T , 使得 f(U)⊆Vf(U)\subseteq Vf(U)⊆V . 这一定义和分析中的定义明显是等同的.
f:X→Yf:X\to Yf:X→Y 叫做连续的, 如果它在每个 x∈Xx\in Xx∈X 附近连续.
不难发现在某点处连续是一个局部性质.
我们通常用 C0C^0C0 表示连续, 以 C0(X,Y)C^0(X, Y)C0(X,Y) 表示从 XXX 到 YYY 的连续映射所构成的集合.
例1. 从离散拓扑 Tdis\mathcal{T}_ {dis}Tdis 出发的每个映射都连续; 映到平凡拓扑 Ttri\mathcal{T}_ {tri}Ttri 的每个映射都是连续的.
定理1. 假设 (X,T),(Y,S)(X, \mathcal{T}), (Y, \mathcal{S})(X,T),(Y,S) 是两个拓扑空间, 则以下两命题等价:
(1). f:X→Yf:X\to Yf:X→Y 连续;
(2). 对每个 V∈SV\in\mathcal{S}V∈S, f−1(V)∈Tf^{-1}(V)\in\mathcal{T}f−1(V)∈T .
证. (1)⇒\Rightarrow⇒(2): 对每个 x∈f−1(V)x\in f^{-1}(V)x∈f−1(V) , 既然 VVV 是 f(x)f(x)f(x) 的一个邻域, 于是有 xxx 的一个邻域 UxU_xUx 使得 f(Ux)⊆Vf(U_x)\subseteq Vf(Ux)⊆V , 即 Ux⊆f−1(V)U_x\subseteq f^{-1}(V)Ux⊆f−1(V) . 令 U=⋃x∈f−1(V)UxU=\bigcup\limits_{x\in f^{-1}(V)}U_xU=x∈f−1(V)⋃Ux , 于是 U⊆f−1(V)U\subseteq f^{-1}(V)U⊆f−1(V) , 但对每个 x∈f−1(V)x\in f^{-1}(V)x∈f−1(V) 都有一个 UxU_xUx 使 x∈Ux⊆Ux\in U_x\subseteq Ux∈Ux⊆U , 于是 f−1(V)⊆Uf^{-1}(V)\subseteq Uf−1(V)⊆U , 即 U=f−1(V)U=f^{-1}(V)U=f−1(V) . 但 UUU 是开集的任意并, 于是 UUU 也是开集.
(2)⇒\Rightarrow⇒(1): 对每个 x∈Xx\in Xx∈X 和 f(x)f(x)f(x) 的一个邻域 VVV , 则 f−1(V)f^{-1}(V)f−1(V) 是 xxx 的一个邻域, 且 f(f−1(V))=Vf(f^{-1}(V))=Vf(f−1(V))=V .
命题2. 连续映射的复合还是连续的.
证. 一个开集在连续函数下的原像是开集, 自然原像的原像依然是开集.
¶ 开映射与闭映射
对拓扑空间 X,YX, YX,Y 之间的映射 f:X→Yf:X\to Yf:X→Y , 如果每个开集的像都是开集, 就称 fff 是开映射. 类似地可以定义闭映射.
例2. 映射 π1:R×R→R,(x,y)↦x\pi_1:\R\times\R\to\R, (x, y)\mapsto xπ1:R×R→R,(x,y)↦x 是开映射(读者自证不难), 但并不是闭映射. 这一点从集合 S={(x,y)∣xy=1,x>0}S=\{(x, y)\mid xy=1,x>0\}S={(x,y)∣xy=1,x>0} 的像就可以得出.
¶ 同胚
设 (X,T),(Y,S)(X, \mathcal{T}), (Y, \mathcal{S})(X,T),(Y,S) 是两个拓扑空间, 一个映射 f:X→Yf:X\to Yf:X→Y 叫做一个同胚映射(简称同胚), 如果它是连续的双射, 并且它的逆也是连续的. 如果两个拓扑空间之间存在同胚映射, 也称这两个拓扑空间同胚.
例3. 区间 (0,1)(0, 1)(0,1) 与 R\RR 是同胚的(配以标准拓扑及其诱导拓扑), 取 f:(0,1)→R,x↦arctan(πx−π2)f:(0, 1)\to \R, x\mapsto \arctan(\pi x-\frac{\pi}{2})f:(0,1)→R,x↦arctan(πx−2π) . 但如果将 R\RR 配以离散映射则二者不同胚(证明见连通性). 这告诉我们两个拓扑空间同胚不仅取决于集合还取决于其上的拓扑结构. 并且, [0,1][0, 1][0,1] 与 R\RR 并不同胚, 证明见紧性.
有未定向的超链接.
例4. 设 X=[0,1)X=[0, 1)X=[0,1) (配以 R\RR 上标准拓扑的诱导拓扑, 以后类似情况将不再说明), Y=S1Y=S^1Y=S1 我们当然也可以把 S1S^1S1 看作 C\mathbb{C}C 的一个子集. 令 f:X→Y,x↦e2πixf:X\to Y, x\mapsto e^{2\pi\mathrm{i}x}f:X→Y,x↦e2πix , 这显然是双射, 并不难验证是连续的. 然而它的逆并不连续, 所以用“连续双射”定义同胚是不够的.
推论3. 同胚是一种等价关系.
这是命题2和双射的复合仍是双射的直接推论.
¶ 拓扑嵌入
设 X,YX, YX,Y 是两个拓扑空间, f:X→Yf:X\to Yf:X→Y 连续. 设 Z=f(X)⊆YZ=f(X)\subseteq YZ=f(X)⊆Y 配以子空间拓扑, 则 fff 诱导出映射 f′:X→Zf':X\to Zf′:X→Z . 如果 f′f'f′ 是同胚, 则称 fff 是拓扑嵌入, 简称嵌入.
显然嵌入必然是单射.
例5. X=[0,1),Y=R2,Z=S1X=[0, 1), Y=\R^2, Z=S^1X=[0,1),Y=R2,Z=S1 . 我们给出例4中的 fff , 它是单射且连续, 但我们已经知道它不是嵌入.